Minimal surfaces

Praca poświęcona jest szczególnym dwuwymiarowym gładkim rozmaitościom, jakimi są powierzchnie minimalne. Zawiera ona definicję tych powierzchni, podaje wzory na najważniejsze opisujące je wielkości, osadzając te powierzchnie i wiążąc z szeroko rozumianą geometrią różniczkową. Dowodzone jest pięć klasycznych twierdzeń o powierzchniach minimalnych — twierdzenie o niezwartości powierzchni minimalnej, twierdzenie Weierstrassa-Ennepera o przedstawieniu parametryzacji takiej powierzchni przez całki z funkcyj holomorficznych, twierdzenie Bernsteina o powierzchni minimalnej będącej wykresem gładkiej funkcji określonej na całej płaszczyźnie, twierdzenie o katenoidzie i twierdzenie Catalana o helikoidzie. Po drodze przedstawiane są, wraz z dowodami, twierdzenie Freneta, podstawowe twierdzenie o krzywych i twierdzenie Jörgensa. Ostatni rozdział podaje przykłady powierzchni minimalnych wraz z ich graficznymi przedstawieniami.

The main topic of my thesis are minimal surfaces, which are a special kind of two dimensional manifolds. My paper gives definition of such surfaces and presents some important formulae describing them. I prove five classical results about minimal surfaces — non-compactness of minimal surfaces, Weierstrass-Enneper representation theorem, Bernstein theorem, theorem about catenoid and finally Catalan theorem about helicoid. I also prove along the way Frenet theorem, the fundamental theorem of curves and Jörgens theorem. Last chapter gives some examples of minimal surfaces with their illustrations.