W niniejszej pracy przedstawimy aktualny stan wiedzy na temat hipotezy Wegnera, czyli hipotezy dotyczącej minimalnej liczby kolorów potrzebnych do poprawnego pokolorowania wierzchołkowego kwadratu grafu planarnego w zależności od maksymalnego stopnia wierzchołka tego grafu. Naszym głównym celem było zebranie i uporządkowanie licznych rezultatów z punktu widzenia technik dowodowych jakie są w nich stosowane. W trakcie powstawania tej pracy próbowaliśmy spojrzeć na materiał łącznie, aby uchwycić główne wysokopoziomowe myśli, które wielokrotnie były rozwijane przez kolejnych autorów. Są to głównie metoda rozładowania (discharging method) oraz metoda dekompozycji. W szczególności zajęliśmy się precyzyjnym przedstawieniem najlepszych obecnie wyników w tej tematyce i ukazaniem związków pomiędzy nimi. Prezentujemy tutaj między innymi dwa istotnie różne dowody hipotezy Wegnera w przypadku, gdy ∆ ≤ 3 oraz aktualnie najlepszy asymptotycznie wynik w przypadku ogólnym, który prowadzi do kwadratowego algorytmu znajdującego odpowiednie kolorowanie. Pracę wieńczy zwięzłe podsumowanie oraz charakteryzacja problemów, które w tej tematyce wciąż pozostają otwarte.

In this paper, we present the current state of knowledge about the Wegner’s conjecture, i.e. the conjecture regarding the minimum number of colors needed to properly color the vertex of the square of a planar graph depending on the maximum vertex degree of this graph. Our main goal was to collect and organize numerous results from the point of view of the proof methods used in them. In the course of writing this paper, we tried to look at the material together to capture the main high-level thoughts that have been developed many times by successive authors. These are mainly a discharging method and a decomposition method. In particular, we focused on precisely presenting the best results in this area and showing the relationships between them. We present here, inter alia, two significantly different proofs of the Wegner’s conjecture in the case when ∆ ≤ 3 and the currently asymptotically best result in the general case, which leads to a quadratic algorithm finding the appropriate coloring. This paper ends with a concise summary and characterization of the problems that still remain open on this subject.