Mean first passage times for integrated stochastic processes

W ramach pracy badano przy pomocy symulacji równania Langevina rozkłady prawdopodobieństwa dla scałkowanego procesu Wienera (ruchu Browna), scałkowanego procesu Ornsteina–Uhlenbecka oraz nieprzetłumionego oscylatora harmonicznego z szumem. Przy pomocy symulacji wyznaczono również średni pierwszy czas wyjścia z obszaru pomiędzy dwoma barierami pochłaniającymi dla scałkowanego procesu Wienera (ruchu Browna) i scałkowanego procesu Ornsteina–Uhlenbecka. Dla scałkowanego procesu Wienera pokazano zgodność wyników symulacji z rozwiązaniem analitycznym zarówno dla rozkładów prawdopodobieństwa jak i średniego pierwszego czasu wyjścia. W przypadku scałkowanego procesu Ornsteina–Uhlenbecka pokazano zgodność rozwiązania analitycznego z wynikami symulacji oraz występowanie stacjonarnego brzegowego rozkładu prędkości. Średni pierwszy czas wyjścia został uzyskany jedynie z symulacji równania Langevina. Dla nieprzetłumionego oscylatora harmonicznego istnieje stan stacjonarny, który został także uzyskany numerycznie.

In the thesis we have been studying probability distributions for the integrated Wiener process (Brownian motion), the integrated Ornstein–Uhlenbeck process and the stochastic underdamped harmonic oscillator by numerical simulation of appropriate Langevin equations. The similar method have been used to estimate mean first passage times from the domain bounded by two absorbing boundaries for the integrated Wiener process (Brownian motion) and the integrated Ornstein–Uhlenbeck process. For the integrated Wiener process we have demonstrated the perfect agreement between analytical results and results of computer simulations of probability distribution and mean first passage times. For the integrated Ornstein–Uhlenbeck process numerical estimation of probability distribution nicely confirmed analytical results. Moreover, we have demonstrated existence of the stationary marginal velocity distribution. Finally, the mean first passage time for the integrated Ornstein–Uhlenbeck process has been calculated numerically. For the underdamped stochastic harmonic oscillator, there is the stationary state, which was estimated by numerical methods.