Uogólniona nierówność Łojasiewicza i jej zastosowania.

Celem pracy magisterskiej jest sformułowanie różnych typów nierówności Łojasiewicza dla przypadku definiowalnego i subanalitycznego. Pokażemy, że pod pewnymi warunkami, jesteśmy w stanie opuścić założenie ciągłości obu funkcji. Ponadto udowodnimy, że w przypadku definiowalnym funkcje te mogą być zdefiniowane na dowolnym zbiorze definiowalnym, nie tylko zwartym. W przypadku subanalitycznym sytuacja okazuje się bardziej subtelna. Do uzyskania podobnych rezultatów będziemy musieli dodać założenie ograniczoności dziedziny. Uzyskane wyniki posłużą nam do zdefiniowania pewnych odpowiedników nierówności Łojasiewicza dla multifunkcji definiowalnych i subanalitycznych. Ostatnia część pracy poświęcona jest związkowi nierówności Łojasiewicza z pojęciem zanurzenia normalnego. Przedstawimy kilka kryteriów, które charakteryzują kiełki normalnie zanurzone oraz te, które takie nie są.

The aim of this thesis is to formulate different types of Łojasiewicz’s inequality in a definable and subanalytic case. We will show that under certain conditions, we can omit the assumption of continuity not only of one functions but also of the other. Moreover, we will prove that in the definable case the functions can be defined on any definable set, not only compact or even closed ones. In the subanalytic case it turns out the situation is more subtle. To get similiar results we will have to add a boundedness of the domain assumption. Obtained results we will use to define some counterparts of the Łojasiewicz’s inequality for definable and subanalytic multifunctions. The last part of the thesis is about a connection between the Łojasiewicz's inequality and normall embeddings. We will present several results that characterize normally and not normally embedded germs .