Stochastyczne równanie Naviera–Stokesa w 2D z silnie zdegenerowanym szumem Lévy’ego

W niniejszej pracy zajmujemy się zagadnieniem istnienia i jedyności miar niezmienniczych dla stochastycznego równania Naviera-Stokesa (NS) na dwuwymiarowym torusie \begin{equation*}\begin{cases}\partial_t u + (u\cdot \nabla)u = \left(\mu\Delta u - \nabla p +f \right) + \xi, \\nabla \cdot u = 0, \quad u(0, x) = v_0(x)\end{cases}\end{equation*}gdzie , to niewiadome, lepkość (ang.,\emph{viscosity}), deterministyczna siła wymuszająca, szum, a warunek początkowy.Badamy przypadek szumu typu L'evy'ego, który jest dodatkowo zdegenerowany do jednego modu Fourierowskiego (wektora własnego Laplasianu ) $\xi = e L $ oraz ,gdzie to jednowymiarowy proces L'evy'ego, a to stała.W przypadku gaussowskim wiadomo, że dla powyższego równania NS istnieje miara niezmiennicza.Kwestia jedyności dla niezdegenerowanego szumu została rozstrzygnięta w latach 90., pracowali nad tym między innymi Flandoli, Mattingly czy Sinai.W przełomowej pracy z 2006 roku Hairer i Mattingly wykazali jedyność miary niezmienniczej dla szumu częściowo zdegenerowanego (co najmniej dwa mody Fourierowskie).Problem jedyność w przypadku szumu zdegenerowanego do jednego wymiaru pozostaje nadal otwarty.Głównym wynikiem niniejszej pracy jest pokazanie jedyności miary niezmienniczej, gdy szumu jest na pierwszej składowej Fourierowskiej, oraz pokazanie jedyności przy dużej lepkości dla szumu L'evy'ego o nieskończonej wariancji ().Dodatkowo, analizując pewne aproksymacje Galerkina równania NS, pokazujemy wyniki silnie sugerujące istnienie nietrywialnych miar niezmienniczych.Pierwszy rozdział zawiera wstępne konstrukcje i narzędzia. Analizujemy bazę wektorów własnych operatora Stokesa i pokazujemy jak znając odtworzyć . Następnie wprowadzamy podstawowe pojęcia dotyczące procesów L'evy'ego i analizujemy ergodyczność procesu Ornsteina-Uhlenbecka, która jest kluczowa w dalszych dowodach.Drugi rozdział poświęcony jest przypadkowi nieskończonego wymiaru.Dowodzimy wspomniane wyżej wyniki dotyczące jedyności.Trzeci rozdział poświęcony jest skończenie wymiarowym aproksymacjom Galerkina.W wymiarze szczegółowo analizujemy \emph{toy model} równania NS wykazując związek pomiędzy miarami niezmienniczymi a punktami stałymi w przypadku bez szumu.Na końcu rozdziału pokazujemy wyniki silne sugerujące istnienie nietrywialnych miar niezmienniczych.Elementy pracy ukażą się jako część wspólnego artykułu z Szymonem Peszatem.

In this work we address the existence and uniqueness of invariant measures for the stochastic Navier–Stokes (NS) equation on the two-dimensional torus \begin{equation*}\begin{cases}\partial_t u + (u\cdot \nabla)u = \left(\mu\Delta u - \nabla p +f \right) + \xi, \\nabla \cdot u = 0, \quad u(0, x) = v_0(x)\end{cases}\end{equation*}where and are unknowns, is the viscosity, is a deterministic forcing, is noise, and is the initial condition.We study the case of Lévy-type noise which is degenerate to a single Fourier mode (an eigenvector of the Laplacian) and , where is a one-dimensional Lévy process and is a constant.In the Gaussian case, it is known that an invariant measure exists for the above NS equation. Uniqueness of the invariant measure for nondegenerate noise was settled in the 1990s by, among others, Flandoli, Mattingly, and Sinai. In their seminal paper from 2006, Hairer and Mattingly proved uniqueness of the invariant measure for partially degenerate noise (at least two Fourier modes). The question of uniqueness in the case of noise degenerate to one dimension remains open.The main result of this thesis is to prove the uniqueness of the invariant measure when the noise acts on the first Fourier component, and to prove uniqueness for large viscosity for Lévy noise with infinite variance (). Additionally, by studying certain Galerkin approximations of the NS equation, we present results that strongly suggest the existence of nontrivial invariant measures.The first two chapters contain preliminary constructions and tools. We analyze the eigenvector basis of the Stokes operator and show how to recover from . Then we introduce basic notions about Lévy processes and analyze ergodicity of the Ornstein–Uhlenbeck process, which is crucial for later proofs.Chapter 3 is devoted to the infinite-dimensional case. We prove the uniqueness results mentioned above.Chapter 4 studies finite-dimensional Galerkin approximations. In dimension we analyze a toy model of the NS equation in detail, showing the relation between invariant measures and fixed points in the deterministic (noise-free) case. At the end of the chapter we present strong results suggesting the existence of nontrivial invariant measures.A part of this thesis will be included in a joint work with S.\ Peszat.