Polyanalytic functions

Niniejsza praca opisuje funkcje polianalityczne, które są uogólnieniem funkcji analitycznych. Głównym jej celem jest porównanie wybranych twierdzeń dotyczących funkcji analitycznych z analogicznymi twierdzeniami dla funkcji polianalitycznych. We wstępie pracy znajduje się krótki zarys jak rozwijała się teoria funkcji polianalitycznych. Rozdział drugi skoncentrowany jest na definicji funkcji polianalitycznej. Trzeci rozdział, który jest zasadniczą częścią pracy przedstawia twierdzenia dotyczące funkcji analitycznych oraz ich uogólnienia na funkcje polianalityczne wraz z dowodami tych uogólnień. Pierwszy podrozdział opisuje Twierdzenie Cauchy'ego oraz wnioski jakie z niego płynął, a więc Wzór całkowy Cauchy'ego, Nierówność Cauchy'ego, Szeregi Taylora, Zasadę identyczności, Twierdzenie Weierstrassa oraz Szeregi Laurenta. W drugim podrozdziale znajdują się Zasada maksimum, Zasadnicze twierdzenie algebry, Twierdzenie Liouville'a oraz Twierdzenie o otwartości.

This thesis describes polyanalytic functions which are a generalization of analytic functions. Its main purpose is to compare selected theorems for analytic functions with analogous theorems for polyanalytic functions. In the introduction to the work, there is a brief outline of how the theory of polyanalytic functions developed. The second chapter focuses on the definition of the polyanalytic function. The third chapter, which is the main part of the work, presents theorems about analytic functions and their generalizations into polyanalytic functions together with the proofs of these generalizations. The first subsection describes the Cauchy theorem and its conclusions, namely the Cauchy Integral Formula, Cauchy Inequality, Taylor Series, Uniqueness Theorem, Weierstrass Theorem, and Laurent Series. The second subsection covers the Maximum Modulus Principle, Fundamental Theorem of Algebra, Liouville Theorem, and Openness Theorem.