Mean value theorems for Banach space projections

Zdefiniowanie pojęć i oznaczeń istotnych w kontekście omawianych w następnej części twierdzeń; między innymi zdefiniowanie różniczkowalności w przestrzeniach Banacha. Przedstawienie twierdzeń: Lagrange'a o wartości średniej, o wartości średniej dla odwzorowań o argumentach w podzbiorze przestrzeni Banacha i wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych, dla odwzorowań pomiędzy dwoma przestrzeniami Banacha w dwóch wersjach i dla odwzorowań na przedziale mających wartości wektorowe. Następnie przedstawienie zastosowań tychże twierdzeń w dowodach prostych nierówności - m.in nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną, nierówność e^pi > pi^e, monotoniczność ciągu (1+1/n)^n - oraz zastosowanie w dowodzie twierdzenia, że pochodna danego odwzorowania między przestrzeniami Banacha będąca stale równa zero implikuje stałość tego odwzorowania i w szacowaniu reszty z definicji pochodnej w przestrzeni Banacha.

Defining concepts connected with the theorems to be introduced in the next part of the thesis; among others defining differentiability in Banach spaces. Presenting the following mean value theorems: the classic Lagrange theorem, for projections with arguments in a Banach space subset and values in the real line, for projections in between two Banach spaces in two versions and for vector-valued functions defined on an interval. Afterwards presenting the applications of some of those theorems in the proofs of simple inequalities - among others the inequality between the arithmetic and geomtric mean, the inequality e^pi > pi^e, the monotonicity of the sequence (1+1/n)^n - and the application in the theorem that the derivative of a projection in between two Banach spaces being constantly equal to zero implies that such projection is constant and in estimating the residual in the definition of a derivative in a Banach space.