Riemann Function

Celem pracy jest omówienie kwestii różniczkowalności funkcji Riemanna. Problem obecny jest w matematyce od pond 150 lat, a jego pojawienie się związane jest z próbami skonstruowania pierwszej nigdzie nieróżniczkowalnej funkcji ciągłej.Pierwszy rozdział skupia rezultaty z szeroko pojętej analizy matematycznej i teorii liczb, które odgrywają kluczową rolę w dowodzie twierdzenia o różniczkowalności. Do najważniejszych zagadnień rozważanych w tej części należą formuła sumacyjna Poissona, symbole Legendre'a, Jacobiego, Kroneckera, sumy Gaussa oraz ułamki Fareya. Głównym wynikiem pracy jest twierdzenie dające pełną charakteryzację skończonych i nieskończonych pochodnych jednostronnych funkcji Riemanna w punktach wymiernych oraz pokazujące, że skończona pochodna w punktach niewymiernych nie istnieje. Całość zamyka krótki przegląd innych podejść do badania różniczkowalności funkcji Riemanna.

The aim of this thesis is to discuss the problem of differentiability of the classical Riemann function. The question arose over 150 years ago out of attempts to construct the first example of continuous nowhere differentiable function.The first chapter contains results from mathematical analysis and number theory which play crucial role in the proof of the theorem about differentiability. The most important notions considered in this section include Poisson summation formula, Legendre, Jacobi, Kronecker symbols, Gauss sums and Farey fractions.The main part consists of the characterization of finite and infinite one-sided derivatives of the Riemann function at rational points and showing that finite derivative at irrational points does not exist. The thesis ends with a brief overview of different approaches to studying the differentiability of the Riemann function.