Binary partition functions and sums of squares

Niech c_m(n) oznacza liczbę partycji liczby naturalnej n na części będące potęgami dwójki, gdzie te równe 1 mogą przyjmować jeden z 2m kolorów, a te większe od 1 mogą przyjmować jeden z m kolorów. Badania dotyczące tej funkcji zapoczątkowali Żmija oraz Ulas, którzy skupili się na jej waluacji 2-adycznej. W niniejszej pracy korzystamy z ich wyników do opisania zbiorów S_m złożonych z liczb naturalnych n, dla których równanie diofantyczne c_m(n) = x^2+y^2+z^2 nie ma rozwiązań. Wskazujemy dokładne oszacowanie funkcji zliczającej S_m oraz pokazujemy, że ciąg charakterystyczny tego zbioru jest 2-automatyczny. Przedstawiamy także możliwe kierunki kontynuacji badań, w szczególności rozważymy reprezentacje liczb c_m(n) przez sumy dwóch kwadratów oraz zbadamy skończony wariant funkcji c_m(n).

Let c_m(n) denote the number of partitions of n into parts that are powers of 2 such that part equal to 1 takes one among 2m colors and each part greater than 1 takes one among m colors. The study of this function was initiated by Żmija and Ulas who focused on its 2-adic behaviour. In this dissertation we characterize the set S_m that consists of natural numbers n, such that the diophantine equation c_m(n)=x^2+y^2+z^2 does not have any solutions. Moreover, we give precise bounds for the counting function of the set S_m and show that the characteristic sequence of this set is 2-automatic. We also indicate possible paths of futher research, in particular we consider representations of c_m(n) as sums of two squares and we consider a finite variant of c_m(n).