The stationarity regions for chosen time series models

Celem pracy jest określenie warunków, jakie musi spełniać proces autoregresji i średniej ruchomej ARMA, aby był on przyczynowy. W pierwszej części pracy wyjaśnione zostało pojęcie szeregu czasowego oraz zostały wymienione podstawowe charakterystyki służące do jego opisu, takie jak średnia, wariancja, funkcje autokowariancji i autokorelacji. Wprowadzone zostały także pojęcia silnej i słabej stacjonarności. Następnie wprowadzone zostały najbardziej klasyczne modele AR – procesu autoregresji i MA – procesu średniej ruchomej, a także powstały z połączenia ich obu proces mieszany ARMA. Zostało udowodnione ogólne twierdzenie mówiące o tym, kiedy proces ARMA jest przyczynowy. Kolejnym krokiem było przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń analizy zespolonej oraz wprowadzenie algorytmu Schura-Cohna. Służy on do określania, czy dany wielomian posiada pierwiastki wewnątrz koła jednostkowego. W ostatniej części zostały podane warunki w postaci jawnej na przyczynowość procesu AR (a przez to także ARMA) rzędu 1, 2 i 3.

The purpose of the thesis is to name the conditions for the autoregressive mean average process ARMA to be causal. In the first part of the thesis the term of time series was explained. Basic characterizations of time series such as mean, variance, autocorrelation and autocovariance function were introduced. Next classical models were described: autoregressive process AR, mean average process ARMA and mixed process ARMA that is created from both AR and MA. The general theorem of causality conditions for process ARMA was proven. The next step was to recall basic definitions and theorems of complex analysis and to introduce Schur-Cohn algorithm. It is used to determine whether given polynomial has zeros inside the unit circle. In the last part explicit conditions for causality of AR (an by that also ARMA) process of order 1, 2 and 3 were given.