Algebraiczna Charakteryzacja Słabej Własności Betha

Głównym celem niniejszej pracy jest podanie pełnych i szczegółowych dowodów dwóch twierdzeń Németiego dotyczących Słabej Własności Betha dla pewnego rodzaju logik. Wspomniane twierdzenia zostały ogłoszone przez Budapesztańską szkołę logiki algebraicznej (Andréka, Németi, Sain), jednakże bez podania pełnych dowodów.Jak zostało wcześniej wykazane Algebraizowalna logika L z ,,patchworkową" własnością modeli posiada słabą Własność Betha wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie Alg(L)-rozszerzalne epimorfizmy w Alg(L) są surjekcjami. Dla logiki takiej, że Algm(L)⊆SFull(Algm(L)), drugi warunek może zostać osłabiony do surjektywności Full(Algm(L))-iinjektywnych epimorfizmów. Co zostaje udowodnione w poniżej pracy w przypadku algebraizowalnej logiki z aksjomatyzowalną klasą Alg(L) i Algm (L)⊆SFull(Alg m (L)), słaba Własność Betha jest równoważna warunkowi, że Alg (L) nie posiada pełnej, domkniętej na izomorfizmy i epi-reflektywnej podkategorii zawierającej Full(Algm(L)). Epi-reflektywność takiej podkategorii jest z kolei równoważna domknięciu na granice w Alg(L).

The main goal of this thesis is to provide complete, detailed proofs of two theorems by Németi concerning the weak Beth definability property of certain logics. These two theorems were announced by the Budapest school of algebraic logic (Andréka, Németi, Sain) but there were no proofs given.It has been shown that an algebraizable logic L with the patchwork property of models has the weak Beth Property if and only if all Alg(L)-extensible epimorphisms of Alg(L) are surjective. For a logic such that Algm(L)⊆SFull(Algm(L)), the second condition can be relaxed to the surjectivity of Full(Algm(L))-injective epimorphisms. What we prove here is that in case of an algebraizable logic with axiomatizable class Alg(L) and Algm(L)⊆SFull(Algm(L)), the weak Beth Property is equivalent to the condition that Alg(L) has no proper, full, isomorphism-closed and epi-reflective subcategory that contains Full(Algm(L)). Epi-reflectivness of such a subcategory is, in turn, equivalent to be limit-closed in Alg(L).